4 主阀关闭运动方程的解析
当把式（15）微分用一阶数值差分近视，则式（15）可改写为：
-γ (Ad - Av)(Hv，1 - Hv，u) + γAd (Sp + Su + Sori )(AdV - q )2 - kY + C f - G y - m(V - V0) Δt = 0（22（a））
Y = Y0 + V0Δt （22（b））
初始条件是：t0=0，V=V0，Y=Y0。当 t0=0 时刻主阀完全开启时，V0=0，Y0=Ymax（主阀完全开启时弹簧的压缩量）。采用数值计算方法求解式（22）可算出主阀行程、速度与时间的关系。
4.1 活塞渗漏流量 为了防止泄压阀主阀关闭产生过高的水击压力及频繁的压力波动，通常采用液压杆主阀缓慢关闭的方式，运动部件的惯性力可以忽略不计，这时，式（22（a））可简化为：
（23）
式中负号表示主阀瓣运动方向与 Y 方向相反。
把式（23）代入式（14）可得：
式中：Ph为作用于活塞上腔的绝对压力，Pa； pv，1 = γHv，1； pv，u = γHv，u；qm 为活塞渗漏质量流量，kg/s； υh = 1 ρ ，液体在Ph下的比容，m3/kg，即密度的倒数。当压力1.6 MPa<Ph<6 MPa时，0.00 116 m3/kg <υh<0.00 131 m3/kg［12］。
《实用阀门设计手册》推荐的活塞环渗漏计算公式［12］是：
（27）
式中：
p′h = pv，u + ph （28）
式中：qmf为活塞渗漏质量流量，kg/s；kv=0.5，渗漏流量系数。
当令渗漏流量系数：
（29）
则式（26）可改写为：
（30）
比较式（27）中 p ′h 和式（30）中 ph ，前者比后者多了一项 pv，u ，即主阀瓣上面（背面）压强，造成这一差异的原因可能是两种活塞式泄压阀结构形式不同或者笔误引起的。因此，对于图 1 先导活塞式泄压阀，建议采用式（30）计算液体的质量流量。
把式（29）代入式（24）可得渗漏流量计算公式：
（31）
4.2 减小水压变化对主阀关闭影响的方法 式（23）可改写为：
（32）
与式（22（b））和输水系统水击过程联立求解可得速度 V 和行程 Y 随时间的变化过程。
由于 Hv，1＞Hv，u ，并且在阀门设计中Ad ≥ Av，所以，从式（32）可得主阀能够正常关闭（V < 0）的充分必要条件：
在摩阻力 Cf已定的条件下，在正常渗漏的范围内，通过调整弹簧系数、活塞和主阀瓣直径，上述条件总是可以满足的。
当条件（33）和（34）同时满足时，从式（32）可得下述结论：
（1）活塞渗漏的存在会减缓主阀关闭的速度；
（2）当 Ad ≠ Av ，则主阀关闭速度受主阀瓣面上的水压差 Av，1 - Hv，u > 0 影响。当活塞直径大于主阀瓣直径，即 Ad > Av ，则水压差 Av，1 - Hv，u 会加快主阀关闭的速度，可能导致产生较大的关阀水锤，优点是主阀完全关闭后密封力大，密封好；当 Ad < Av ，则 Av，1 - Hv，u 会减缓主阀关闭的速度，甚至无法关闭。当 Ad = Av ，则主阀关闭速度不受主阀瓣面上的水压差 Av，1 - Hv，u 变化的影响。
（3）主阀弹簧力、重力是主阀关闭的驱动力，而摩阻力虽然有减小关闭速度的作用，但是可能导致无法关闭。
（4）当针阀开度趋于零时，则Sp→ ∞，V → 0；当缓冲孔孔径趋于零时，Sori → ∞，V → 0；因此，调节针阀行程和缓冲孔孔径中任一个都可调整主阀关闭速度。换句话说，缓冲孔减缓主阀关闭速度的作用可以通过减小针阀开度来代替，这时缓冲孔起着连通孔的作用。
《实用阀门设计手册》［12］对传统活塞式泄压阀（减压阀）建议取 Dd = 1.5DT ，即 Ad = 2.25AT > Av ，其中：DT 为活塞进口过水断面直径， AT 为活塞进口过水断面面积。显然，采用手册推荐设计，条件式
（33）和（34）总是能够满足的，但是，由于主阀关闭速度受水压变化影响较大，关闭速度的控制（调试）非常困难。
令Ymin为主阀完全关闭时弹簧的压缩量，m，如果在设计的过程中，当下述条件满足：
Ymin≥C f k （35）
则可取 Ad = Av ，即活塞直径 Dd 等于主阀瓣直径 Dv ，这时式（32）简化为：
（36）
在一般情况下，|V | ≫ q Ad ，所以，当 Ad = Av时，作用在活塞和主阀瓣上的水压力相互抵消，泄压阀主阀的关闭速度基本不受水压变化的影响，目前，已经有些先导活塞式泄压阀在设计中采用了Dd = Dv 或者 Ad = Av 。
当设计 Ad = Av 时，主阀瓣密封需要的压力可通过主阀结构设计解决，因为，主阀瓣面积 Av总是大 于 主 阀 进 水 口 面 积 AT， 当 阀 门 完 全 关 闭 时 ， 通 过 上 腔 水 压 施 加 在 主 阀 密 封 上 的 水 压 力 为P = gρHv，1(Ad - AT ) = gρHv，1(Av - AT ) 。例如，当主阀瓣直径 Dv=0.16 m、主阀进水口直径 DT=0.15 m、主阀进口水压 Hv，1 = 10 m 时，则 P = 9807 × 10 × 3.14 × (0.162 - 0.152) 4 = 238.7(N ) ，并且随主阀进口水压 Hv，1的增加，密封挤压力会成正比增加。换句话说，在 Ad = Av 的条件下，可适当增大主阀瓣面积 Av来满足主阀瓣密封压力的要求。
4.3 主阀关闭行程和速度与时间的关系 在一般情况下，活塞渗漏流量 q Ad ≪ |V | ，可忽略不计。
当 Ad = Av 时，式（36）可简化为：
（37）式中：
a = (G y - C f ) ((S p + Su + Sori )γAv3)，b = k ((S p + Su + Sori )γAv3) （38）
在泄压阀设计时，主阀瓣的最大开启高度（开度）(Ymax - Ymin)≥ 0.25 D ，其中： Ymax 为主阀最大行程，m，Dv
为主阀瓣直径，m。
求解式（37）微分方程得：
（39）
对式（39）求导得主阀关闭速度：
（40）
观察式（39）和式（40），可得下述结论：
（1）主阀关闭行程（开度）是时间的二次函数；
（2）主阀关闭速度与时间成线性关系，速度绝对值随时间的增加而减小，即先快后慢。
当令主阀行程完全关闭的时间为 Tc及主阀完全关闭时刻的速度为 Vc，则由式 39）和（40）得：
当条件式（35）满足时，则式（39）—式（42）成立。