3 主阀的运动方程
为了突出主要因素的影响，假设：
（1）泄压阀上腔进水管、上腔管、取样管、泄水管很短，水流的惯性力和弹性可忽略不计；
（2）泄压阀的水道高程差与干管水压相比微小，可忽略不计；
（3）阀杆截面积与活塞或主阀瓣面积相比小得多，在计算活塞或主阀瓣上下面水压差时可忽略不计。
当以图 1 主阀运动部件作为控制体，并以主阀（阀瓣）开启方向为行程 Y 的正向，则作用在控制体上的力是活塞与主阀瓣上下表面的水压力、运动部件的重力、主阀弹簧力、活塞环和阀杆表面摩阻力，其中：水压力与作用表面垂直，重力和弹簧力方向与 Y 方向相反，摩阻力与运动方向相反。在此条件下，主阀运动部件的运动方程为mV̇= -Pd，u + Pd，1 - Pv，u + Pv，1 - Pe - sgn(V )C f - G y （1）式中：m 为主阀运动部件的质量，kg； V = dY dt 为运动速度，m/s；V̇= dV dt = d 2Y dt 2 ；Y 为主阀 行程，m； Pd，u、Pd，1 为活塞上、下面的水压力，N； Pv，u、Pv，1 为主阀瓣上、下面的水压力，N；Pe为主阀弹簧力，N；Cf为活塞环（密封圈）和阀杆表面摩阻力，N ，其中 sgn（V）为符号函数。当主阀开启时，sgn（V）＞0，取值为 1；当主阀关闭时，sgn（V）＜0，取值为-1；Gy=Gsinα为运动部件沿 Y 方向的重力，N；G 为运动部件（活塞、主阀瓣、阀杆）的重力，N；α为阀杆（Y 方向）与水平面的夹角。
根据胡克定律，弹簧力与行程的关系Pe= kY
式中：k 为弹簧系数，N/m。弹簧系数的选择主要考虑主阀关闭的要求。 （2）
如图 1 所示，阀杆和密封填料之间密封要求不高，密封填料主要为阀杆的上下移动起稳定导向作用，渗漏对主阀运动的影响不大，在一般情况下阀杆表面摩阻力可忽略不计，但是，活塞环的密封要求较高，所以活塞环的摩阻力较大，必须考虑。活塞环摩阻力的理论计算公式（陆培文）［11-12］是
（3）式中：Z1为活塞环数；fm为摩擦系数，初步计算可取 0.2；Dd活塞直径，m；h 为活塞环径向厚度，m；b 为活塞环的宽度，m； Δ = S - δ 为活塞环自由状态与工作状态间隙之差，m；s 为活塞环自由状态开口间隙，m；δ为活塞环工作状态开口间隙，m，是防止工作温度下活塞环与气缸热膨胀卡紧而预留的间隙，一般为 0.25×10-3 ~ 0.5×10-3；E 为活塞环弹性模量，Pa。对矩形截面铸铁活塞环：当 Dd≥0.05 m 时，h=（1/22 ~ 1/36）Dd，大直径活塞取下限；b=（0. 4 ~ 1.4）h，较大直径活塞取较小值；活塞环自由开口间隙 s=（3 ~ 4）h。
根据假设 1 和 2，当主阀关闭时，水体由进水管和上腔管流入上腔，由伯努利方程可得活塞上面的水压是：Hd，u = Hv，1 - SpQ p2 - SuQu
当主阀开启时，上腔水体由上腔管流出与进水管水流在图 1 点 A 合流后通过泄水管排出：Hd，u = Hv，1 - SpQ p2 + SuQu2 （4（a））
（4（b））
2 式中： Hd，u 为上腔的压头，m； Hv，1 为进水管进口或者主阀瓣下面的压头，m； Q p 为进水管流量，m3/s； Qu 为上腔管流量，m3/s； S = å fL 2gdA 2 + å ζ 2gA 2 为管道的阻抗系数；f 为沿程阻力系数；L 为管长，m；d 为管径，m； ζ 为管道局部阻力系数；A 为管道过水截面积，m2；g=9.8 m/s2，重力加速度；Sp为进水管的阻抗系数，可通过针阀开度调整；Su为上腔管的阻抗系数，由于上腔管流动方向发生变化，其局部阻力系数因流动方向的不同而不同。
当主阀关闭时，活塞上面水压力是：Pd，u = γAd Hd，u = γAd (Hv，1 - SpQ p2 - SuQu2) （5（a））
当主阀开启时：Pd，u = γAd Hd，u = γAd (Hv，1 - SpQ p2 + SuQu式中： γ = gρ 为水的比重，N/ m3； ρ 为水的密度，g/m3；Ad为活塞面积，m2。 （5（b））
2) 缓冲孔也具有双向流动特性，当主阀关闭时，液体从下腔流出，活塞下腔水压与缓冲孔出口水压（主阀瓣上面的水压）的关系为：Hd，1 = Hv，u + Sori Q 2 （6（a））
当主阀开启时，液体流入下腔：Hd，1 = Hv，u - Sori Q 2 （6（b））
式 中 ： Hd，1 为 下 腔 的 压 头 ， m； Hv，u 为 主 阀 瓣 上 面 的 压 头 ， m； Q 为 缓 冲 孔 的 流 量 ， m3/s ；
Sori = ζori (2gno2ri Ao2ri ) 为缓冲孔的阻抗系数， ζori 为缓冲孔局部阻力系数， nori 为缓冲孔数， Aori 为缓冲孔面积，m2。考虑到主阀瓣上面的压头分部的不均匀性，缓冲孔可以是多个小孔的组合，将它们 轴对称布置在下腔底部。
主阀瓣下面和上面的水压力差：
Pv，1 - Pv，u = Avγ (Hv，1 - Hv，u) （7）
式中 Av
为主阀瓣面积，m2。
把式（2）、（3）、（5（a））、（7）代入式（1）得主阀关闭的运动方程：
mV̇= -γ (Ad - Av)(Hv，1 - Hv，u) + γAd (SpQ p2 + SuQu2 + Sori Q 2) - kY + Cf - Gy （8（a））
把式（2）、（3）、（5（b））、（7）代入式（1）得主阀开启的运动方程：
mV̇= - γ (Ad - Av)(Hv，1 - Hv，u) + γAd (SpQ 2 ) 2- kY - C f - Gy （8（b）） p- SuQu2 - Sori Q 下面将根据主阀关闭和开启过程的水力学特点，建立液压传动系统流量 Qp、 Qu 、 Q s 、 Q 与主阀运动速度 V 的函数关系。
3.1 主阀关闭速度与液压传动系统流量的关系 当导阀瞬时关闭后，泄水管流量 Qs=0，主阀进口液体通过进水管和上腔管流入上腔，主阀开始关闭，Q≤0，水从缓冲孔流出。由图 1 点 A 流动的连续性可得：
Qu = -Q p （9）式中负号表示实际流动与图１参考方向相反。
当主阀关闭时，活塞向下运动，上腔体积增加的改变量与流入、流出流量的关系是：
dVudt = (dVu dY )(dY dt ) = -AdV = -Qu - q = Q p - q
即：
Qp= -AdV + q （10）式中：Vu为上腔体积，m3；q 为活塞环的渗漏流量，m3/s。
活塞下腔体积减小的改变与流入、流出流量的关系是：dV1 dt = (dV1 dY )(dY dt ) = AdV = Q + q即：Q = AdV - q （11）式中V1 为下腔体积，m3。
活塞渗漏流量与水头损失的关系可描述为：
（12）式中：Gd为活塞渗漏流量系数； A1 =πDd δ ， δ 为缸套与活塞环之间的间隙，m，在一般情况下，δ=
3×10-5 m［11-12］。
当式（4（a））—式（6（a））时，则：Hd，u - Hd，1 = Hv，1 - Hv，u - SpQ p2 - SuQu2 - Sori Q 2
把式（9）、（10）、（11）代入上式得：Hd，u - Hd，1 = Hv，1 - Hv，u - (Sp + Su + Sori )(AdV - q )2 （13）
把式（13）代入式（12）得：
当已知 (AdV - q ) 时，可由上式计算活塞渗漏流量。 （14）
把式（9）、式（10）、式（11）代入式（8（a））得主阀关闭的运动方程：
mV̇= -γ (Ad - Av)(Hv，1 - Hv，u) + γAd (Sp + Su + Sord )(AdV - q )2 - kY + Cf - Gy （15）
显然，主阀的关闭速度不仅与惯性力、弹簧力、摩阻力、重力有关，与活塞和主阀瓣面积有 关，而且与水压、渗漏流量及进水管、上腔管和缓冲孔的阻抗系数有关。
3.2 主阀开启速度与液压传动系统流量的关系 当导阀瞬时开启后，在主阀瓣水压力的作用下，主阀瓣开始向上运动开启，V＞0，进水管和上腔管流量在 A 点汇流后通过泄水管排出，主阀瓣上液体通过缓冲孔流入下腔。图 1 交汇点 A 处连续性方程是：Qu + Q p = Q s
根据假设 1 和 2，列出进水管进口与导阀泄水管出口之间的伯努利方程可得： （16）
Hv，1 = H s + SpQ p2 + SsQ s2 （17）
式中：Hs为泄水管出口压头，m； Ss
为泄水管的阻抗系数。在一般情况下，Hs
接近大气压头，Hs≈0，可忽略不计，这样，把式（16）代入式（17）消去 Qs得：
SpQ 2p+ Ss(Qu + Q p)2 - Hv，1 = (Sp + Ss)Q p2 + 2SsQuQ p + SsQu2 - Hv，i = 0
求解得：
当导阀开启时，活塞上下腔水压差较小，活塞的渗漏可忽略不计，这时，Qu = Q = AdV （19）
将式（18）和（19）代入式（8b）得主阀开启的运动方程：
mV̇= -γ (Ad - Av)(Hv，1 - Hv，u)
（20）
显然，主阀的开启速度不仅与惯性力、气弹簧力、摩阻力、重力有关，与活塞和主阀瓣面积有关，而且与水压、进水管、上腔管、泄水管和缓冲孔的阻抗系数有关。
式（20）的数值计算差分方程是：
式中：Δt = t - t0 为计算时间步长/s；下标“0”表示时刻 t0。初始条件是：t0=0，V=V0，Y=Y0。当 t0=0 时刻主阀完全关闭时，V0=0，Y0=Ymin（主阀完全关闭时弹簧的压缩量）。在计算的过程中，Y 和 V 是 t 的未知量，其它参数为已知量。